BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR
BELAKANG
Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang
mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini
dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan
bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan
masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang
ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi
mempunyai 3 buku lebih banyak dari pada Andi, maka dalam aljabar, buku Budi
dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, Anda dapat
menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan
dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola
umumnya.
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa
Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan
hal ini, bangsa Kuno ini mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar
sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus
dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang
biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan
Persamaan Linier tak tentu.
Kemudian Bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India,
Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, Lebih sering
menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya
seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’,
‘Euclid’s Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’.
Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang
tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk
menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu
permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan
memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno
Euclid menulis buku yang berjudul “Elements”. Dalam buku itu ia mencantumkan
beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia kembangkan
dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui, orang-orang Yunani
kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara lengkap jika mareka tidak
dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan menggunakan
geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan mereka untuk
memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3,
Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika,
dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak
diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya
tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan
apa yang digunakan sekarang ini.
1.2
RUMUSAN MASALAH
1) Bagaimana asal mula terbentuknya
Aljabar ?
2) Bagaimana perkembanagan Aljabar ?
3) Bagaimna perkembangan Aljabar di Masa sebelum
Masehi ?
4) Bagaimana perkembangan Aljabar di Masa
Pertengahan ?
1.3
TUJUAN
1) Mengetahui asal mula terbentuknya Aljabar
2) Mengetahui perkembanagan Aljabar
3) Mengetahui perkembangan Aljabar di Masa
sebelum Masehi
BAB II
PEMBAHASAN
SEJARAH ALJABAR DAN
APLIKASINYA DALAM KEHIDUPAN MANUSIADARI
MASA SEBELUM MASEHI DAN MASA PERTENGAHAN
2.1 PENGERTIAN ALJABAR
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang
berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika
yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar
juga merupakan nama sebuah struktur aljabarabstrak, yaitu aljabar dalam sebuah
bidang.Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan
kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol
(biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai
sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili
bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui
Aljabar
adalah penggabungan teori bilangan-bilangan rasional, irasional, dan
geometri.Konsep ini memberikan dimensi dan pengembangan teori matematika yang
benar-benar baru dibandingkan teori-teori sebelumnya.Aljabar pulalah yang
menjadi dasar pijakanpengembangan teori matematika selanjutnya. Aspek penting
lain dari teori aljabar adalah dimungkinkannya penerapan matematika untuk
bidang keilmuan eksak lainnya yang belum pernah terjadi di masa lalu.
Aljabar adalah cabang matematika yang
mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini
dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan
bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan
masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang
ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi
mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, buku Budi
dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan aljabar kita dapat menyelidiki pola
aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang
benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.
2.2 ASAL USUL ALJABAR
Asal mula Aljabar dapat
ditelusuri berasal dari Babilonia Kuno yang mengembangkan system matematika yang
cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip
dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu
mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui
untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan
Linier, persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa
Mesir dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam melenium pertama
sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan
persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam “the Rhind
Mathematical Papyrus”, “Sulba Sutras”, “Eucilid’s Elements” dan “The Nine
Chapters on the Mathematical Art”. Hasil bangsa Yunani dalam Geometri, yang
tertulis dalam kitab elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk
menggeneralisasi formula metematika di luar solusi khusus dari suatu
permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan
memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
1)
Aljabar Sebelum Masehi
1500
SM awal mula aljabar berasal dari Mesir kuno dan Babilonia, mengembangkan
sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung
dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem
ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang
tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan
persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Pada saat
itu di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan persamaan
kuadrat (ax 2 + bx = c), dan persamaan yang tak tentu seperti x 2 + y 2 = z 2,.
Orang-orang babilonia kuno sudah bisa memecahkan persamaan kudrat dengan
penyelesaian yang hampir sama dengan saat ini Pada abad ke 2. Hero dan
Diophantus dari Alexandria melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tetapi dalam
buku Diophantus,Arithmetica berada pada tingkat yang jauh lebih tinggi dan
memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan sulit tak tentu.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno
Euclid menulis buku yang berjudul "Elements". Dalam buku itu ia
mencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia
kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui,
orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara lengkap
jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan
menggunakan geometri.Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan mereka
untuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3,
Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika,
dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak
diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan.
Sistemnya tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem
Euclid dan apa yang digunakan sekarang ini.
2)
Aljabar Abad Pertengahan
Ketika Agama Islam mulai mucul abad ke 6 masehi,
Peperangan atas nama agama untuk menundukkan daerah daerah Yahudi, Daerah
Khatolik dan daerah tempat para umat Nasrani tinggal mulai gencar dilakukan
oleh para pengikut muhammad. Sehingga pada tahun 641 M, bangsa Arab berhasil
menguasai Alexandria dan menutup sekolah Yunani kuno terakhir.Namun ide-ide
bangsa Yunani tetap dipertahankan bahkan dikembangkan, dan kemudian dibawa ke
Eropa Barat setelah menduduki Spanyol pada tahun 747 M.
Bangsa arab yang sebelumnya belum pernah mendapatkan
harta berupa Ilmu yang berlimpah di daerah jajahan, kemudian mulailah Bangsa
Arab pertama kali mempertemukan ilmu yang berupa ide tersebut. Ketika mereka
bertemu dengan dokter-dokter Yunani yang bekerja di kota-kota Arab.Dua orang
sarjana yang terkenal itu adalah Brahmagupta (598 - 660) dan Arya-Bhata (475 -
550).Brahmagupta adalah seorang astronom yang banyak menemukan ciri-ciri untuk
luas dan volume benda padat.Sedangkan Arya-Bhata adalah seorang ilmuwan yang
menciptakan tabel sinus (rasio-rasio istimewa) dan mengembangkan sebuah bentuk
aljabar sinkopasi seperti sistem yang dibuat Diophantus.
Lambat laun bangsa Arab mulai mengenal teori yang
dimiliki negara jajahan tersebut. Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini
dianggap sebagai penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi, seorang muslim
keturunan Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut
kalender islam. Dibidang pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang tokoh
Islam yang berpengetahuan luas.Pengetahuan dan kemahiran al-Khawarizmi bukan
hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang falsafah, logika,
aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu kimia.Keahlian
dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya menciptakan pemakaian Secans
dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
Sebelum munculnya karya yang berjudul ‘Hisab
al-Jibra wa al Muqabalah yang ditulis oleh al-Khawarizmi pada tahun 820 Masehi
itu, kata aljabar tidak pernah digunakan. Istilah ‘Aljabar’ sendiri sebenarnya
berasal dari kata arab “al-jabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr
wal-Muqabala’ (yang berarti “The Compendious Book on Calculation by Completion
and Balancing“), yang ditulis oleh Matematikawan Muhammad ibn Musa
al-Kwarizmi.Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan
(reunion).Bahkan jika dilihat dari historisnya, Matematikawan Yunani pada zaman
Hellenisme, Diophantus, secara tradisional telah mengenal konsep konsep
aljabar, hanya saja mereka tidak menggunakan istilah tersebut untuk teori yang
mereka miliki.
Walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa
sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut. Mereka yang mendukung
al-khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih
digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci
mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung
diophantus menunjukkan aljabar ditemukan dalam al-jabr adalah masih sangat
elementer dibandingkan aljabar yang ditemukan dalam ‘arithmetica’, karya
diophantus. Matematikawan persia yang lain, omar khayyam, membangun aljabar
geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan
india mahavira dan bhaskara, serta matematikawan cina, zhu shijie,juga berhasil
memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat
tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan
lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang
determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17,
diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk
memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks.
Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan
di abad ke-18.Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus
pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility).
Para sajarawan meyakini bahwa karya al-Khawarizmi
merupakan buku pertama dalam sejarah di mana istilah aljabar muncul dalam
konteks disiplin ilmu.Kondisi ini dipertegas dalam pembukuan, formulasi dan
kosakata yang secara teknis merupakan suatu kosakata baru.Ilmu pengetahuan
aljabar sendiri sebenarnya merupakan penyempurnaan terhadap pengetahuan yang
telah dicapai oleh bangsa Mesir dan Babylonia. Kedua bangsa tersebut telah
memiliki catatan-catatan yang berhubungan dengan masalah aritmatika, aljabar
dan geometri pada permulaan 2000 SM. Dalam buku Arithmetica of Diophantus
terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Meskipun demikian
persamaan yang ada belum terbentuk secara sistematis, tetapi terbentuk secara
tidak sengaja melalui penyempurnaan kasus-kasus yang muncul.Karena itu, sebelum
masa al-Khawarizmi, aljabar belum merupakan suatu objek yang secara serius dan
sistematis dipelajari.
2.3 TOKOH-TOKOH DALAM
MENGEMBANGKAN ALJABAR
1) Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, Ia
adalah yang pertama kali yang mencetus Al-Jabar dalam bukunya dengan judul
“Al-kitab al-jabr wa-l-Muqabala” kitab ini merupakan karya yang sangat
monumental pada abad ke-9 M. ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia
yang dilahirkan pada tahun 194 H/780 M, tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan.
2) Al-Qalasadi dalam mengembangkan
matematika sungguh sangat tak ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad
ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu
hitung. Sejarang mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus
Muslim yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol
tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh Ibnu al-Banna kemudian
pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi, al-Qalasadi memperkenalkan
symbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter dari alphabet Arab. Ia
menggunakan wa yang berarti “dan” untuk penambahan (+), untuk pengurangan (-),
al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x),
ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala yang berarti ”bagi” digunakan
untuk pembagian (/).
3) Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1
Desember 1792 – 24 Februari 1856) adalah matematikawan Rusia. Ia terutama
dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-Euclides (independen dari
hasil karya János Bolyai) yang diumumkannya pada 23 Februari 1826, serta metode
hampiran akar persamaan aljabar yang dikenal dengan nama Metode
Dandelin-Gräffe.
4) Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar
ibn Muḥammad ibn
al-Muẓaffar al-Ṭūsī (1135-1213) adalah
matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din mengajar berbagai
topik matematika, astronomi dan yang terkait, seperti bilangan, tabel
astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah tentang aljabar. Dia
memberikan metode yang kemudian dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk
menghampiri akar persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah
digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari
sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan metode
ini untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam Al-Mu’adalat (Tentang
Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan kubik
dan yang pertama kali menemukan turunan polinomial kubik, hasil yang penting
dalam kalkulus diferensial
5) Omar Khayyam, ilmuwan yang berasal dari
Persia ini membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari
persamaan kubik.
6) Kowa Seki ilmuwan yang berasal dari
Jepang pada abad 17, ia mengembangkan tentang determinan.
7) Robert Recorde adalah seorang yang
memperkenalkan tanda “=” yang terdapat dalam bukunya yang berjudul “The
Whetstone of Witte” pada tahun 1557.
2.4 KLASIFIKASI ALJABAR
Aljabar
secara garis besar dapat dibagi dalam beberapa kategori berikut ini:
1) Aljabar
Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam
dalam symbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi
dan persamaan matematika yang melibatkan simbol-simbol. (bidang ini juga
mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah). Aljabar Elementer
adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai
pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun
seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +,
-, x,) muncul juga dalam aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya
dinotasikan dengan symbol (seperti a, x, y, ). Hal ini sangat penting sebab:
hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti
a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama
untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sitem bilangan riil.
Dengan menggunakan symbol,
alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk
membangun persamaan matematika yang mengandung variable yang tidak diketahui
(sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x+1=10”) . Hal ini
juga mengijinkan kita untukmembuat relasi fungsional dari rumus-rumus
matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda mnjual x tiket, kemudian anda
mendapat untung 3x -10 rupiah, dapat dituliskan sebagaif(x) = 3x – 10, dimana f
adalah fungsi dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”).
2) Aljabar
Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Stuktur Aljabar
semacam Grup, ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara
aksiomatis.
3) Aljabar
Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk
Matrik).
4) Aljabar
Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Stuktur aljabar.
2.5
APLIKASI ALJABAR DALAM KEHIDUPAN MANUSIA
2.5.1
Masa Sebelum Masehi
Asal mula aljabar dapat dilacak
ke bangsa babilonia, yang mengembangkan system nomor posisi yang sangat
membantu mereka dalam memecahkan persamaan aljabar retoris mereka. Orang
babilonia tidak tertarik dalam solusi yang tepat tetapi perkiraan sehingga mereka
biasanya akan menggunakan interpolasi linear untuk nilai menengah perkiraan.
Salah satu tablet paling terkenal adalah Plimpton 1900-1600 SM, yang memberikan
sebuah tabel dari tiga kali lipat Pythagoras dan merupakan sebagian dari
matematika yang paling canggih sebelum matematika Yunani. Aljabar Babilonia
lebih maju dari aljabar mesir saat itu, sedangkan orang mesir terutama yang
berkaitan dengan persamaan linear babel lebih peduli dengan persamaan kuadrat
dan kubik.Orang-orang babel telah mengembangkan operasi aljabar fleksibel
dengan yang mereka mampu.
2.5.2
Saat Ini
v Penerapan Aljabar Bagi Siswa
a.
Untuk manajemen uang saku yang diberikan orang tua setiap minggu
b.
Dengan adanya aljabar siswa dapat dengan cepat menyelesaikan masalah persamaan
dan pertidaksamaan linear satu variable, aritmatika sosia dan juga perbandingan
untuk meyelesaikan suatu masalah
v Penerapan aljabar bagi ibu rumah tangga
a.
Untuk manajemen uang gaji, uang saku anak, uang sekolah dll
v Penerapan aljabar bagi pedagang
a.
Untuk menghitung besar kecilnya keuntugan atau kerugian yang dapat
diperolehnya.
b.
Menentukan besar modal yang dibutuhkan
2.5.3
Masa Depan
Aljabar memiliki peranan penting
bagi kehidupan manusia di masa mendatang.Karen dengan adanya aljabar manusia
dapat memecahkan masalah dalam kehidupan terutama yang berkaitan dengan
perhitungan.Aljabar juga berperan dalam kemajuan teknologi dan
pengetahuan.Karena dengan adanya aljabar manusia dapat membuat perkiraan dan
perhitungan yang lebih akurat sehingga manusia dapat merencanakan sesuatu
dengan baik.
Ilmu aljabar jika diaplikasikan
dengan ilmu lain dapat menghasilkan suatu karya atau teknologi baru.
DAFTAR PUSTAKA
http://aseta-blog.blogspot.com/2012/05/sejarah-aljabar.html
Kampus : STKIP Kusuma Negara
Program : S.1 Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Filsafat
Penyusun : Rifa Oktaviningtyas,
Rini Fatmawati
Erni Alfiani
0 komentar:
Posting Komentar