BAB
I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang
digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.Simbol ataupun lambang yang digunakan
untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.Dalam
matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk
meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional,
dan bilangan kompleks.Banyak yang tidak menduga bahwa nol sebenarnya sangat
berbahaya dan dapat menjadi bom penghancur yang sangat dahsyat.Sebagai buktinya
adalah kisah nyata yang terjadi pada tanggal 21 September 1997.
Kapal perang USS
Yorktown ketika sedang menyusuri lepas pantai Virginia, kapal peluncur misil
berharga jutaan dolar amerika itu tiba-tiba macet dan menimbulkan kecemasan
bagi semua awak kapal.Ketika sistem komputasi Yorktown baru saja mengoperasikan
sebuah software baru pengatur kerja mesin, angka nol yang seharusnya
dihilangkan, terlewatkan dan tersembunyi hingga akhirnya software tersebut
mengaktifkan dan menguncinya.Mesin yang berkekuatan 80.000 tenaga kuda tersebut
tak dapat berfungsi.Kapal tidak bergerak hampir tiga jam.Akibat kejadian ini,
para teknisi membutuhkan waktu dua hari untuk menghapus angka nol dan Yorktown
dapat beroperasi kembali.
Prosedur-prosedur
tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasilkan bilangan
lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.Operasi numeris mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu
keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan
menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran.
Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk
mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika
menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan
bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak
bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu
dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam
teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta
banyak aspek kehidupan lainnya.
Membaca uraian di
atas, jelas bahwa bilangan memiliki pengaruh yang sangat besar bagi kehidupan
umat manusia.Dapatkah terbayangkan bagaimana bila kehidupan di dunia ini tidak
mengenal konsep bilangan? Bagaimana cara manusia melakukan berbagai aktivitas kehidupan
sehari-hari mulai dari yang paling sederhana hingga yang paling kompleks
sekalipun? Bagaimana manusia dapat menghitung berapa lama ia telah hidup?
Bagaimana caranya melakukan kegiatan jual beli?Tentu sangat sulit bukan? Oleh
karena itu, alangkah bagusnya jika kita mengenal konsep dasar mengenai
bilangan, seperti apa itu bilangan? Bagaimana sejarah bilangan berkembang
hingga menjadi seperti bilangan yang kita gunakan saat ini?Siapa-siapa saja
yang telah berjasa dalam menemukan dan mengembangkan konsep bilangan?dan
bagaimana aplikasi teori bilangan itu sendiri ?
1.2.
Identifikasi
Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat diidentifikasi
masalah-masalah dalam penulisan ini sebagai berikut :
1.
Bagaimana cara manusia melakukan berbagai
aktivitas kehidupan sehari-hari
2.
Bagaimana manusia menghitung berapa lama ia
telah hidup tanpa konsep bilangan.
3.
Bagaimana cara manusia melakukan kegiatan
jual beli tanpal konsep bilangan
4.
Bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga
kita gunakan saat ini.
5.
Siapa yang telah berjasa dalam menemukan dan
mengembangkan konsep bilangan.
1.3.
Batasan
Masalah
Dengan adanya
beberapa masalah yang teridentifikasi, maka perlu dilakukan pembatasan masalah
agar penulisan ini dapat dilakukan secara lebih terarah. Berdasarkan
permasalahan yang telah teridentifikasi maka dalam penulisan ini pembatasan
masalah tersebut adalah :
1.
Bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga
menjadi kita gunakan saat ini.
2.
Siapa yang telah berjasa dalam menemukan dan
mengembangkan konsep bilangan.
3.
Bagaimana aplikasi teori bilangan itu
sendiri.
1.4.
Tujuan
Penulisan
Dari batasan masalah yang diberikan maka
tujuan yang akan dicapai adalah :
1.
Untuk mengetahui bagaimana sejarah bilangan
berkembang hingga menjadi seperti
bilangan yang kita gunakan saat ini.
2.
Untuk mengetahui siapa-siapa saja yang telah
berjasa dalam menemukan dan
mengembangkan konsep bilangan.
3.
Untuk mengetahui bagaimana aplikasi teori
bilangan itu sendiri.
BAB
II
PEMBAHASAN
2.1.
Sejarah Perkembangan Teori Bilangan
Pada mulanya di
zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai
besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang
sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga,
bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu
memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa,
membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian
untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan
matematika bersama-sama.Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal
dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut.Mereka memerlukan
perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan
musim.Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang
dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan,
keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan
bilangan-bilangan.
Bilangan dahulunya
digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil,
ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk
menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :
·
Simbol bilangan bangsa Babilonia.
·
Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada
500 tahun SM.
·
Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif
yang dibuat bangsa Mesir Kuno.
·
Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada
abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia.
·
Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.
·
Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih
dipakai hingga kini.
· Sejarah perkembangan teori bilangan dapat
dikelompokkan menjadi dua masa, yaitu :
2.1.1.
Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi)
Konsep bilangan dan
proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah (artinya tidak
tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini
sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang
dinamakan bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau
mana yang “lebih sedikit” terhadap berbagai benda.
Hal ini dibuktikan
dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang Lebombo di pegunungan
Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM. Tulang ini
berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula
baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat
siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan
tanda yang berbeda. Selain itu, ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan
Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, yang menunjukkan upaya
dini untuk menghitung waktu. Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air
Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di
tiga lajur memanjang pada tulang itu.Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango
menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan
prima.
2.1.1.1
Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia
Matematika
Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa
Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban
helenistik.Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan
Babilonia sebagai tempat untuk belajar.Pada zaman peradaban helenistik,
Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk
membangkitkan Matematika Yunani.Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam,
Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian
Matematika Islam
Bertentangan dengan
langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia
diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak
1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah,
dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di
antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini
matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno
di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000
SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian
pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan
soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada
periode ini.
Sebagian besar lempengan
tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan
meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan
perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar.
Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan
linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran
bagi
yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika
Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari
sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit
untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga
penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan
derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia
memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan
di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem
desimal.
Sistem Numerasi
Babylonia (±2000 SM), pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah
Babylonian.
2.1.1.2
Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir
merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir.Sejak peradaban
helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang
membangkitkan Matematika helenistik.Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di
bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab
menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika
Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga
"Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari
tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang
lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu
adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan
rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan,
lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk
bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan
pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu,
bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde
satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika
Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan
Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau
soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
Sistem Numerasi
Mesir Kuno (±3000 SM) bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan
hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.
2.1.1.3
Teori Bilangan pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras
(kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan
bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar
kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode
konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan,
menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras
secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema
Pythagoras.
Panini (kira-kira abad
ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi
yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta,
transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM)
di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem
bilangan biner.Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi
dasar dari teorema binomial.Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang
bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad
ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap
(perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime
number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square
number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan
segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga
yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b =
c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang
sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring
(hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang
lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan
bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu
yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri.Bilangan
positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit.Catatan
sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik
perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan
berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk
mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya
sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan
kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah
tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma
dikerjakan oleh Euclid.Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan
konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan.Buku Euclid yang ke VII memuat
suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan
bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien,
melalui sejumlah langkah yang terhingga.Kata algoritma berasal dari
algorism.Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber
dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu
Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya
(Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism.Istilah algoritma masuk
kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun
1950.
Pada abad ke 3
S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang
sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of
Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang
bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan
bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun
geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid).Dengan kerja bentuk lambang
ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
Berikut ini adalah Simbol-simbol bilangan
yang ditemukan :
2.1.2
Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan
teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard
Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833),
Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe
Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai
seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan
kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan
sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini,
teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak
diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.Hal ini
dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris,
kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
2.2
Definisi Bilangan
Bilangan adalah
suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk pencacahan
dan pengukuran.Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu
bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau
ketikan : 1 yang terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang
dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan
unsur-unsur kimia yang peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan
gambar. Demikian pula jika kita melihat lambang yang sama di papan tulis, yang
terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang
melambangkan bilangan 1.
2.3
Bilangan dan Himpunan Bilangan
Pada zaman sekarang
ini, sistem penulisan bilangan yang dikenal adalah penulisan yang dikembangkan
oleh bangsa Arab (Angka Arab) dengan angka pokoknya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, sedangkan angka yang lebih dari 9, ditulis dengan mengkombinasikan
angka-angka pokok tadi. Untuk keperluan menghitung, maka orang-orang mulai
memerlukan “bilangan penghitung” (counting number) yaitu bilangan yang dimulai
dari 1, 2, 3, 4, 5, ... dan seterusnya. Dimana bilangan penghitung tersebut
sekarang ini dikenal dengan nama bilangan-bilangan asli, dan apabila
bilangan-bilangan asli dihimpun menjadi sebuah himpunan, dan sebutlah himpunan
itu dengan N, maka di dalam matematika, himpunan semua bilangan asli N tersebut
dikenal sebagai N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Untuk keperluan
lainnya kemudian orang memperluas bilangan asli menjadi bilangan bulat,
sehingga munculah himpunan semua bilangan bulat. Di dalam bahasa asing
disingkat “I” (integer), himpunan bilangan bulat I dinyatakan dengan I = {... ,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. dari bilangan bulat diperluas menjadi bilangan
rasional.
Bilangan rasional
biasanya diberi nama dengan “Q” singkatan dari Quotient yang berarti rasio atau
perbandigan. Himpunan bilangan rasional Q dinyatakan dengan Q = {
}.
Karena
, hubungan ketiga himpunan bilangan tersebut
dapat digambarkan melalui diagram venn
berikut:
Kemudian untuk keperluan tertentu orang-orang
menciptakan bilangan Irasional, apabila himpunan semua bilangan irasional
diberi nama H, maka himpunan semua bilangan irasional H dan himpunan semua
bilangan rasional Q merupakan dua buah himpunan yang saling lepas, sehingga H
Q =
(himpunan kosong) sedangkan gabungan dari
himpunan rasional dan irasional disebut himpunan semua bilangan real R atau H
Q = R
Hubungan antara kelima himpunan N, I, Q, H,
dan R dapat diperlihatkan oleh diagram Venn berikut:
Bilangan yang bukan
merupakan bilangan real disebut “bilangan imajiner” dan biasanya diberi nama
dengan huruf i atau i =
.
Dengan dikenalnya bilangan imajiner maka kita akan mengenal bilangan kompleks
dan diberi nama C, yang dinyatakan sebagai
2.4
Macam-Macam Bilangan
2.4.1
Bilangan Asli ( N )
Bilangan asli
adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan N={1, 2, 3,
4, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling
sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh
manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukan beberapa jenis kera besar
(inggris:apes) juga bisa mempelajarinya. Bilangan asli adalah jenis pertama dari
bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, membagi dsb.Bilangan asli
dapat digunakan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat terhitung suatu
himpunan.
2.4.2
Bilangan Cacah (C)
Bilangan cacah
adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Dengan
kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah 0.
2.4.3
Bilangan Bulat ( I )
Bilangan bulat
terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0
adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan
bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian
yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu.Sistem bilangan bulat
tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem
bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung.Perluasan tersebut
dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan
- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif
- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif
2.4.4
Bilangan Rasional ( H )
Bilangan rasional
adalah bilangan yang dinyatakan sebagai
dimana
a dan b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau
lebih dari utuh, terdiri dari pembilang dan penyebut.Pembilang merupakan
bilangan yang terbagi, sedangkan penyebut merupakan bilangan pembagi.
2.4.5
Bilangan Irasional ( Q )
Bilangan irasional
adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya tidak pernah
berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b. dengan a dan b
sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh yang paling
popular dari bilangan irasional adalah bilangan
, dan bilangan e.
Bilangan
sebetulnya tidak tepat = 3,14 tetapi =
3,1415926535... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399
... Untuk bilangan
yaitu
bernilai = 1,41421356237309504880168872 ... atau = 1,41421 35623 73095 04880
16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798 ... (hingga 700 digit
belum selesai, yang ditemukan oleh pakar matematika Jepang dengan batuan
komputer ), untuk bilangan e yaitu bernilai = 2,7182818 ...
2.4.6
Bilangan Riil ( R )
Bilangan riil atau
real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti
2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional,
seperti 42 dan
, dan bilangan irasional seperti
dan
bilangan akar, juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam
garis bilangan. Definisi popular dari bilangan riil meliputi kelas ekivalen
dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Arhimides.
2.4.7
Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner
adalah bilangan yang mempunyai sifat
. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari
bilangan kompleks.Selain bagian imajiner, bilangan komplek mempunyai bagian
riil. Secara definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian
persamaan kuadratik
atau
2.4.8
Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks
adalah bilangan yang berbentuk
. Dimana a dan b adalah bilangan riil dan I
adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat
. Bilangan riil a disebut juga bagian riil
dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada
suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut menjadi sama
dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks
dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil, namun
bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik.Misalnya,
setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak
seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Selain bilangan-bilangan di atas, juga
terdapat beberapa bilangan lainnya, yaitu :
2.4.9
Bilangan Nol
Konsep bilangan nol
telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, Sejarah diketemukannya
bilangan nol adalah sekitar 300 SM, orang Babilonia telah memulai penggunaan
dua baji miring (//) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong pada abax (alat
hitung pertama bangsa Babilonia, lebih dikenal dengan abacus).
Hingga pada abad
ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat
bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol
adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan
menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang
salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus
menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian.
Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan
bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”.Ide-ide
brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan
Muslim dan Arab.Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan
Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan
sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, dan 9.Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan
bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh.Sistem ini disebut
sebagai sistem bilangan desimal.
2.4.10
Bilangan Sempurna
Bilangan sempurna
adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari pembagi positifnya, tidak
termasuk bilangan itu sendiri.Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna,
karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6.Bilangan sempurna
berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.Diikuti dengan 496, dan 8128.Hanya
empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman
Yunani Kuno.
Saat ini, telah
ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat mencari bilangan
sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus tersebut adalah :
Bilangan sempurna =
2.4.11
Bilangan Bersekawan
Dua buah bilangan a
dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima dari bilangan a sama
dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan b sama dengan bilangan
a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor prima dari 220 adalah 1, 2,
4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana jumlahnya sama dengan 284, dan
faktor prima dari 284 adalah 1, 2, 4, 71 dan 142, dimana jumlahnya sama dengan
220.
Beberapa pasangan
bilangan bersekawan lainnya adalah (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020,
5564), dan (6232, 6368).Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam
sebuah bagan bilangan berikut :
2.5
Beberapa Tokoh Teori Bilangan Legendaris
2.5.1
Pythagoras (582 SM . 496 SM)
Pythagoras adalah
seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui
teoremanya.Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan
yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Salah satu
peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan
bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan
jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di
dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun
teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali
membuktikan pengamatan ini secara matematis.
2.5.2
Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)
Abu Ali Hasan Ibnu
Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama
Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan
sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi
sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan
prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima,
1+(p-1)! habis dibagi oleh p. Sayangnya, jauh di kemudian hari, hasil ini
dikenal sebagai Teorema Wilson, bukan Teorema Al-Haytam. Teorema ini disebut
Teorema Wilson setelah Warring pada tahun 1770 menyatakan bahwa John Wilson
telah mengumumkan hasil ini. Selain dalam bidang matematika, Al-Haytam juga
dikenal baik dalam dunia fisika, yang mempelajari mekanika pergerakan dari
suatu benda. Dia adalah orang pertama yang menyatakan bahwa jika suatu benda
bergerak, akan bergerak terus menerus kecuali ada gaya luar yang
memengaruhinya. tidak lain adalah hukum gerak pertama, umumnya dikenal sebagai
hukum Newton pertama.
2.5.3
Jamshid Al-Kashi (1380 M)
Al-Kashi terlahir
pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah.
Selama hidupnya, Al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan
penting bagi astronomi dan matematika.
Pecahan desimal
yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad,
sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh Al-Kashi.Pecahan
desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk
menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci
Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.
Segitiga Pascal
pertama kali diketahui dari sebuah buku karya Yang Hui yang ditulis pada tahun
1261, salah seorang ahli matematika Dinasti Sung yang termasyhur.Namun,
sebenarnya segitiga tersebut telah dibahas dalam buku karya Al Kashi yang
disebut dengan Segitiga Khayyam.Dan kita semua tahu bahwa ilmu di Cina dan
Persia itu sudah tua.Sedangkan segitiga Pascal yang dibahas oleh Peter Apian,
seorang ahli Aritmatika dari Jerman baru diterbitkan pada 1527.Sehingga bisa
disimpulkan bahwa Segitiga Khayyam muncul terlebih dulu sebelum segitiga
Pascal.
2.5.4
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat
meninggal pada tahun 1665.Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang
ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal
yang pernah hidup.Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya
Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal
lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan
sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama
yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk
menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan
kecuali dilakukan sesuatu.
Putranya, Samuel
mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya,
komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan
gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah “Teorema Terakhir”
yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan
kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus.Teorema terakhir
Fermat menyatakan bahwa
tidak
mempunyai solusi bilangan bulat tak nol untuk x, y dan z, jika n > 2.
Fermat menuliskan
bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small
to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603,
manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan
Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata
salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan
yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n =
3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk
kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya
karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah
pembuktian.Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi
bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini
mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang
mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam
simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat.
Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat.
2.5.5
Joseph-Louis de Langrange (25 Januari 1736 . 10 April 1813)
Joseph-Louis de
Lagrange (lahir dengan nama Giuseppe Luigi Lagrangia) adalah seorang
matematikawan dan astronom Perancis-Italia yang membuat sumbangan penting pada
mekanika klasik, angkasa dan teori bilangan. Dilahirkan di Turin, ia adalah
campuran Italia dan Perancis.Ayahnya ialah orang kaya, namun suka menghambur-hamburkan
kekayaannya.Belakangan dalam hidupnya, Lagrange menyebutnya sebagai bencana
yang menguntungkan karena, "jika saya mewarisi kekayaan mungkin saya tidak
akan mempertaruhkan nasib saya dengan matematika”.
Berpaling pada
matematika dengan membaca sebuah esai tentang kalkulus, dengan cepat ia
menguasai subjek tersebut. Pada usia 19 tahun, ia memulai karyanya (mungkin
yang terbesar), Mecanique analitique,
meski tak diterbitkan sampai ia berusia 52 tahun. Karena tiadanya diagram yang
lengkap, komposisi terpadu, William Rowan Hamilton menyebut bukunya sebagai
"sajak ilmiah".
Pada saat Lagrange
mengirim beberapa hasil karyanya kepada Leonhard Euler, Euler sadar akan
kecemerlangan Lagrange dan menunda menerbitkan sejumlah karyanya sendiri yang
berkaitan agar Lagrange-lah yang bisa menerbitkannya pertama kali (contoh
langka tentang sifat seorang akademikus yang tak mementingkan diri sendiri).
Kariernya masyhur;
pada usia 20 tahun ia adalah matematikawan istana pada Raja Prusia Friedrich
yang Agung di Berlin dan kemudian guru besar di Ecole normale di Paris. Selama
Revolusi Prancis, ia adalah favorit Marie Antoinette dan kemudian Napoleon. Di
Paris, ia membantu menyempurnakan sistem metrik tentang berat dan ukuran.
2.5.6
Adrien-Marie Legendre (18 September 1752 . 10 Januari 1833)
Adrien-Marie
Legendre ialah matematikawan Perancis.Ia membuat sumbangan penting atas
statistik, teori bilangan, aljabar abstrak dan analisis matematika. Kebanyakan
karyanya disempurnakan oleh ilmuwan lainnya (karyanya pada akar polinomial
mengilhami teori Galois; karya Abel pada fungsi elips dibangun pada Legendre;
beberapa karya Gauss dalam statistik dan teori bilangan yang melengkapi teori
Legendre).
Pada tahun 1830 ia
memberikan bukti pada teorema akhir Fermat untuk eksponen n = 5, yang diberikan
hampir secara serentak oleh Dirichlet pada 1828. Dalam teori bilangan, ia
mengkonjekturkan hukum timbal balik kuadrat, yang kemudian dibuktikan Gauss. Ia
juga melakukan karya pioner pada prima, dan pada penerapan analisis pada teori
bilangan. Konjekturnya dari teorema bilangan prima dengan tepat dibuktikan oleh
Hadamard dan de la Vallee-Poussin pada 1898.
2.5.7
Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 . 23 Februari 1855)
Gauss adalah
matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam
kontribusi.Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang
masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman,
saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar
gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat
gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu
deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini
hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit
dari itu.
2.5.8
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 Februari 1805-5 Mei 1859)
Dirichlet ialah
matematikawan Jerman yang dihargai karena definisi "formal" modern
dari fungsi. Keluarganya berasal dari kota Richelet di Belgia, dari yang nama
belakangnya "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" =
"anak muda dari Richelet") diturunkan, dan di mana kakeknya tinggal.
Dirichlet lahir di
Duren, di mana ayahnya merupakan kepala kantor pos. Ia mendapatkan pendidikan
di Jerman, dan kemudian Prancis, di mana ia belajar dari banyak matematikawan
terkemuka saat itu. Karya pertamanya ialah pada teorema akhir Fermat. Inilah
konjektur terkenal (kini terbukti) yang menyatakan bahwa untuk
, untuk persamaan
tak
memiliki solusi bilangan bulat, selain daripada yang trivial yang mana
itu 0. Ia membuat bukti parsial untuk kasus n = 5,
yang dilengkapi oleh Adrien-Marie Legendre. Dirichlet juga melengkapi
pembuktiannya sendiri hampir di saat yang sama; kemudian ia juga menciptakan
bukti penuh untuk kasus n = 14. Setelah kematiannya, ceramah Dirichlet dan
hasil lain dalam teori bilangan dikumpulkan, disunting dan diterbitkan oleh
kawannya dan matematikawan Richard Dedekind dengan judul Vorlesungen uber Zahlentheorie (Ceramah pada Teori Bilangan).
2.5.9
Benjamin Peirce (4 April 1809 . 6 Oktober 1880)
Benjamin Peirce
ialah seorang matematikawan Amerika yang mengajar di Universitas Harvard selama
kira-kira 50 tahun.Dia bersumbangsih dalam bidang mekanika benda langit, teori
bilangan, aljabar, dan filsafat matematika.
Setelah tamat dari
Harvard, dia menjadi seorang asisten dosen (1829), dan kemudian diangkat
menjadi dosen matematika pada 1831.Di dalam teori bilangan, dia membuktikan
bahwa tidak ada bilangan sempurna ganjil yang kurang dari empat faktor prima.Di
dalam aljabar, dia dikenal atas pengkajiannya pada aljabar asosiatif. Dia
pertama mengajukan istilah idempoten dan nilpoten pada 1870 untuk menjelaskan
unsur-unsur aljabar ini, dan dia juga memperkenalkan penguraian peirce.
2.6
Aplikasi Teori Bilangan
2.6.1
Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Teknologi
Sistem bilangan atau number system adalah suatu cara
untuk mewakili besaran suatu item fisik. Sistem bilangan menggunakan bilangan
dasar atau basis (base/radix) tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada
4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal (Basis 10), Biner (Basis
2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan mengenai 4
sistem bilangan ini:
a. Desimal (Basis 10)
Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling
umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan
basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal
integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction).Untuk
melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan
contoh bilangan desimal adalah 8598.
Ini dapat diartikan Dalam gambar di atas
disebutkan Absolut Value dan Position Value.Setiap
simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut Value dan Position
Value. Absolut Value adalah nilai mutlak dari
masing-masing digit bilangan.Sedangkan Position Value adalah
nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari
letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya.
b. Biner (Basis 2)
Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan yang terdiri
dari 2 simbol yaitu 2 dan 1.Bilangan biner ini dipopulerkan oleh John Von
Neuman.Contoh bilangan biner ini adalah 1001, ini dapat diartikan (di konversi
ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan biner
merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis). Berarti, bilangan biner 1001 .
c. Oktal (Basis 8)
Oktal (Basis 8) adalah sistem bilangan yang
terdiri dari 8 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Contoh oktal adalah
1024, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal). Position
Value dalam sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis).
d. Hexadesimal (Basis
16)
Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal
berarti 10 adalah sistem bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada sistem
bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf.Huruf A mewakili angka
10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai huruf F mewakili angka 15.
Contoh hexadesimal F3D4, ini dapat diartikan
(dikonversikan ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem
bilangan hexsadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis).
2.6.2
Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Sains
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam
kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya,
konsentrasi ion hidronium pada air adalah
pada suhu
, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel
(dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti
perbandingan nilai daya dan tegangan.Kebanyakan digunakan dalam bidang
telekomunikasi, elektronik, dan akustik.Salah satu sebab digunakannya logaritma
adalah karena telingan manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara
logaritmik.Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell,
seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan
0,1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi
dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan
skala logaritmik, karena mata manusia
mempersepsikan terang secara logaritmik.
2.6.3
Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Ekonomi
Menganalisis dan mengevaluasi strategi penyelesaian
masalah serta menemukan strategi penyelesaian masalah yang baru.Matematika
dapat digunakan untuk menyeleksi atau menyaring data yang ada.Seperti tes
seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau karyawan menggunakan
tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika dan berhitung) untuk
mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah.Dalam
bidang teknik matematika digunakan seperti teknik informatika atau komputer
menggunakan konsep bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika
digunakan untuk menentukan ketelitian suatu alat ukur atau peralatan yang
digunakan.Bidang ekonomi menggunakan konsep fungsi untuk memprediksikan
produksi maupun penjualan.
2.6.4
Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Musik
Teori Musik sering menggunakan
matematika untuk memahami musik. Memang, matematika adalah “dasar suara” dan
suara itu sendiri “dalam aspek musik nya menunjukkan array yang luar biasa dari
sifat nomor”, hanya karena alam itu sendiri “adalah matematika luar
biasa”.Meskipun kuno, Cina, Mesir dan Mesopotamians diketahui telah mempelajari
prinsip-prinsip matematika suara, dengan ilmu Pythagoras dari Yunani kuno
adalah peneliti pertama yang diketahui telah menyelidiki ekspresi skala musik
dalam hal rasio numerik, khususnya rasio bilangan bulat kecil.Doktrin utama
mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni timbul dari nomor”.
Dari waktu Plato, harmoni dianggap sebagai cabang
dasar fisika, sekarang dikenal sebagai musik akustik.Awal teori India dan Cina
menunjukkan pendekatan serupa.Semua berusaha untuk menunjukkan bahwa hukum-hukum
matematika dari harmonisa dan ritme yang fundamental tidak hanya untuk
pemahaman kita tentang dunia tetapi untuk kesejahteraan manusia.Konfusius,
seperti Pythagoras, menganggap nomor kecil 1,2,3,4 sebagai sumber semua
kesempurnaan.
Untuk hari ini matematika lebih berkaitan dengan
akustik dibandingkan dengan komposisi, dan penggunaan matematika dalam
komposisi secara historis terbatas pada operasi sederhana penghitungan dan
pengukuran.Upaya untuk struktur dan mengkomunikasikan cara-cara baru penyusunan
dan mendengar musik telah menyebabkan aplikasi musik teori himpunan, aljabar
abstrak dan teori bilangan. Beberapa komposer telah memasukkan rasio Emas dan
angka Fibonacci ke dalam pekerjaan mereka
Bentuk musik
Formulir Musik adalah rencana dimana sepotong pendek
musik diperpanjang.The “Rencana” istilah juga digunakan dalam arsitektur, yang
membentuk musik sering dibandingkan.Seperti arsitek, komposer harus
memperhitungkan fungsi yang pekerjaan dimaksudkan dan sarana yang tersedia,
berlatih ekonomi dan memanfaatkan pengulangan dan ketertiban.Jenis umum dikenal
sebagai bentuk biner dan terner (“dua kali lipat” dan “tiga”) sekali lagi
menunjukkan pentingnya nilai-nilai integral kecil terhadap kejelasan dan daya
tarik musik.
2.6.5
Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Filsafat
Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi
material artinya filsafat menjadikan bilangan sebagai objek sasaran untuk
menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri.Objek material filsafat ilmu
bilangan adalah bilangan itu sendiri.Bilangan itu sendiri dimulai dari yang
paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat,
dan seterusnya hingga bilangan kompleks.Sebagai objek formal filsafat, bilangan
dikaji hakikat. Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa
hakikat dari bilangan itu, bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang
abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana penggunaan bilangan untuk
penghitungan dan atau pengukuran.
2.6.6
Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Hiburan (Permainan)
a. Ambil tanggal lahir kamu lalu kali 4, hasilnya
tambah 13, hasilnya kali 25 lalu kurangi dengan 200, hasilnya tambah
dengan bulan lahir kamu lalu hasilnya kali 2 terus kurangi dengan 40, hasilnya
kali dengan 50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir kamu
lalu hasilnya kurangi dengan 10500..berapa hasilnya?
b. Ambil dua
digit terakhir tahun lahir kamu dan tambahkan dengan umurmu di tahun 2011.
Berapa hasilnya? Selalu 111 kan?
c. Dalam
astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat
menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu
entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda
yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang
hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti
cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak
kelihatan”.Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan
fenomena lubang hitam yaitu bilangan
lubang hitam.Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu?Mari kita
bermain-main sebentar dengan angka.Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan
asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga).Sebagai contoh, katakanlah
141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit
bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4
(empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit).Lalu gunakan
digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.
Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan
total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit
ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi
hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan:
0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika
kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123
lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah
lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan
ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.
Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan
yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah
122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan
total adalah 20, 25, dan 45.Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545.Lakukan
lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita
peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi
terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa
kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123
adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan. Namun, apakah
mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta
bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut
sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?
BAB
III
PENUTUP
Bilangan pada
awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya
setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata
yang tepat untuk mendefenisikan bilangan dan mengembangkan konsep-konsep
matematika menjadi lebih luas, maka matematika menjadi hal yang sangat penting
bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita
akan selalu bertemu dengan konsep bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan
baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan
hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Sejarah telah
membuktikan bahwa matematika, khususnya sistem bilangan pada awalnya tidak
seragam, berbeda di tiap suku bangsa. Jadi matematika dalam kasus ini sistem
bilangan, sangat mirip dengan bahasa, yakni berbeda di tiap suku bangsa, tapi
pada prinsipnya bisa diterjemahkan satu sama lain. Dan sebagaimana bahasa
inggris mendominasi bahasa yang digunakan di dunia, maka sistem bilangan basis
10 adalah yang paling banyak disepakati suku bangsa dan menjadi sistem bilangan
internasional.Tapi seperti bahasa juga, sistem bilangan ini juga mengalami
asimilasi, jadi walaupun menggunakan sistem bilangan basis 10 (desimal), 1
tahun tetap 12 bulan dan 1 jam tetap 60 menit.Kenapa tidak diseragamkan? Hal
ini karena perbedaan akan membuat dunia lebih hidup dan indah.
DAFTAR
PUSTAKA
Aditya., (2010), Sejarah Sistem Bilangan.
[Online]. Tersedia: http://www. adit38.wordpress.com/2010/05/19/asal-usul-sistem-bilangan
[13 Oktober 2010]
de Fermat, Pierre., (2010), [Online].
Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/
Pierre_de_Fermat [13 Oktober 2010]
Dinata, A., (2007), Aplikasi Teori Bilangan
Bulat pada Sistem Barcode [Online], Vol 1 hal.10,
Tersedia: http//www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/2006.../Makalah0607-100.pdf
[12 Oktober 2010]
Pengertian Sistem Bilangan., (2010),
[Online]. Tersedia: http://www.scribd.com/doc/
25769841/pengertian-sistem-bilangan [13 Oktober 2010]
Smartivun., (2008), Sejarah Bilangan dan
Perkembangannya. [Online]. Tersedia: http://
simplemathlesson.blogspot.com/2009/02/sejarah-bilangan-dan-perkembangannya_20.html
[13 Oktober 2010]
Wicaksono, K.N., (2007), Penerapan Teori
Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari
[Online], Vol 1 (1), 12 halaman. Tersedia :http://www.docstoc.com/docs/20504373/Penerapan-Teori-Bilangan-Bulat-dalam-Kriptografi-dan-Aplikasinya-dalam
[12 Oktober 2010]
Kampus : STKIP Kusuma Negara
Program : S.1 Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Filsafat
Penyusun : Mohamad Aminudin
Romlah
Mia Mulyati
0 komentar:
Posting Komentar